Une hyper brève histoire de l'infini
Le chapitre sur l'infini (sans doute le plus complexe de l'ouvrage) donne quelques éléments pour manipuler la notion. Parce que l'infini, ce n'est pas qu'une entité de taille infinie (ça, c'est la vision dite de l'infini actuel). L'infini est plus généralement défini comme un processus qui se poursuit indéfiniment : 1 + 1 = 2. 2 + 1 = 3. Ce processus, qui consiste à prendre n et à lui rajouter 1, se poursuit ad infinitum ; mais, à chaque étape, n est un nombre fini.
David Hilbert est un mathématicien allemand qui approche l'infini comme une entité, et propose quelques petits exercices de gymnastique de l'esprit. Préparez-vous à monter une infinité de marches pour arriver sur le toit (infiniment haut) de l'Hôtel Hilbert.
Dans l'hôtel Hilbert, il y a une infinité de chambre. Elles sont toutes occupées. Arrive un client. Comment le loger ?
Il suffit de l'emmener dans la chambre 1. Celui qui est dans la chambre 1 va dans la chambre 2, et ainsi de suite.
Bien.
Arrive maintenant un car contenant une infinité de gens, qu'on appelle clients A1, A2, A3, etc. Même problème.
Les clients déjà présents (1, 2, 3) sont déplacés dans les chambres paires (2, 4, 6) ; les clients A1, A2, A3 dans une chambre impaire. Pratique.
Arrivent enfin une infinité de cars (A, B, C) contenant une infinité de gens. Ça se corse, hein ?
Il faut, nous explique Hilbert, les faire se mettre en file indienne, côte à côte, de sorte à obtenir la formation suivante :
- A1 A2 A3 A4
- B1 B2 B3 B4
- C1 C2 C3 C4
- D1 D2 D3 D4
Et on les fait entrer dans les chambres selon l'ordre suivant : A1 ; A2 puis B1 ; A3 puis B2 puis C1. (Faites un petit dessin, vous comprendrez).
Ce qu'il faut retenir, c'est que l'infini est infini ; il n'y a donc pas d'infini plus grand qu'un autre. On ne peut pas dire "l'infini +1 est plus grand que l'infini -1".